திண்ம வடிவங்கள் (Solid Geometry) – முகங்கள், விளிம்புகள், உச்சிகள் (முனைகள்) மற்றும் 3D வடிவங்களின் பண்புகள்
கணித உலகிற்கு உங்களை அன்புடன் வரவேற்கின்றோம்!
நாம் அன்றாட வாழ்க்கையில் பயன்படுத்தும் தாயக்கட்டை, புத்தகம், பந்து, தகரப்பேணி, நீர்க்குழாய் போன்ற பொருட்கள் ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளன.
இவை அனைத்தும் முப்பரிமாண வடிவங்கள் (Three-Dimensional Shapes) அல்லது திண்ம வடிவங்கள் (Solid Shapes) என அழைக்கப்படுகின்றன.
இந்தப் பாடத்தில் ஏழு முக்கியமான திண்ம வடிவங்களைப் பற்றி விரிவாகக் கற்றுக்கொள்ளப் போகின்றோம்.
- சதுரமுகி (கனசதுரம்) (Cube)
- கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம்) (Cuboid)
- நான்முகி (Tetrahedron)
- சதுரக் கூம்பக்கம் (சதுரப் பிரமிடு) (Square Pyramid)
- கோளம் (Sphere)
- உருளை (Cylinder)
- முக்கோண அரியம் (Triangular Prism)
ஒவ்வொரு வடிவத்தினதும் முகங்கள், விளிம்புகள், முனைகள் மற்றும் அவற்றின் அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்களையும் எளிய முறையில் அறிந்துகொள்வோம்.
1. திண்ம வடிவங்கள் என்றால் என்ன? (What is Solid Geometry?)
முப்பரிமாணப் பொருட்களின் வடிவங்கள், அமைப்புகள் மற்றும் பண்புகளைப் பற்றி ஆராயும் கணிதப் பிரிவு திண்ம வடிவவியல் (Solid Geometry) எனப்படும்.
இவ்வடிவங்களுக்கு மூன்று பரிமாணங்கள் உள்ளன:
- நீளம் (Length)
- அகலம் (Width)
- உயரம் (Height)
இவை இடத்தை ஆக்கிரமிப்பதுடன் கனவளவையும் (Volume) கொண்டுள்ளன.
அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்கள்:
- தாயக்கட்டை (பகடை) – சதுரமுகி (கனசதுரம்)
- புத்தகம் – கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம்)
- கால்பந்து – கோளம்
- தகரப்பேணி – உருளை
- கூம்பக (பிரமிடு) வடிவக் கட்டிடம் – பிரமிடு
- முக்கோண வடிவப் பொதியிடல் – அரியம் (முக்கோண முப்பட்டகம்)
2. திண்ம வடிவங்களின் முக்கிய பண்புகள்
திண்ம வடிவங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கு மூன்று முக்கிய கணிதச் சொற்களை முதலில் அறிந்துகொள்ள வேண்டும்.
2.1 முகம் (Face)
ஒரு திண்ம வடிவத்தின் மேற்பரப்பு முகம் எனப்படும். அது தட்டையான மேற்பரப்பாகவோ அல்லது வளைந்த மேற்பரப்பாகவோ இருக்கலாம்.
உதாரணமாக, ஒரு சதுரமுகிக்கு (கனசதுரத்திற்கு) ஆறு சதுர முகங்கள் உள்ளன.
2.2 விளிம்பு (Edge)
இரண்டு தட்டையான முகங்கள் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும் எல்லைக்கோடு விளிம்பு எனப்படும்.
உதாரணமாக, ஒரு சதுரமுகிக்கு (கனசதுரத்திற்கு) 12 விளிம்புகள் உள்ளன.
2.3 உச்சி/ முனை (Vertex)
இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விளிம்புகள் சந்திக்கும் மூலைப்புள்ளி முனை எனப்படும். இதன் பன்மைச் சொல் முனைகள் (Vertices) ஆகும்.
உதாரணமாக, ஒரு சதுரமுகிக்கு (கனசதுரத்திற்கு) 8 முனைகள் உள்ளன.
- முகம் – மேற்பரப்பு
- விளிம்பு – இரண்டு தட்டையான முகங்கள் சந்திக்கும் கோடு
- முனை – விளிம்புகள் சந்திக்கும் மூலைப்புள்ளி
3. சதுரமுகி/ கனசதுரம் (Cube)
சதுரமுகி (கனசதுரம்) என்றால் என்ன?
ஆறு சமமான சதுர முகங்களைக் கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம் சதுரமுகி (கனசதுரம்) எனப்படும்.
இதன் அனைத்து விளிம்புகளும் சம நீளமானவை. ஒவ்வொரு முகமும் ஒரு சதுரமாகும்.
சதுரமுகியின் (கனசதுரத்தின்) பண்புகள்:
- முகங்களின் எண்ணிக்கை – 6
- விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை – 12
- முனைகளின் எண்ணிக்கை – 8
- அனைத்து முகங்களும் சமமான சதுரங்கள்.
- அனைத்து விளிம்புகளும் சம நீளமானவை.
- அடுத்தடுத்த முகங்களுக்கு இடையிலான கோணம் 90° ஆகும்.
| பண்பு | எண்ணிக்கை |
|---|---|
| முகங்கள் | 6 |
| விளிம்புகள் | 12 |
| உச்சிகள் (முனைகள்) | 8 |
அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்கள்:
- தாயக்கட்டை (பகடை) (Dice)
- ரூபிக் கனசதுரம் (Rubik's Cube)
- பனிக்கட்டிகள்
- கனசதுரப் பரிசுப் பெட்டிகள்
சதுரமுகியின் (கனசதுரத்தின்) கனவளவு:
ஒரு விளிம்பின் நீளம் a எனக் கொண்டால்,
கனவளவு = a × a × a = a³
4. கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம் - Cuboid)
கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம்) என்றால் என்ன?
ஆறு செவ்வக முகங்களைக் கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம் கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம்) எனப்படும்.
இதன் எதிரெதிர் முகங்கள் சமமானவையாகவும் இணையானவையாகவும் இருக்கும்.
இதன் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.
கனவுருவின் (செவ்வகக் கனசதுரத்தின்) பண்புகள்:
- முகங்களின் எண்ணிக்கை – 6
- விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை – 12
- முனைகளின் எண்ணிக்கை – 8
- அனைத்து முகங்களும் செவ்வகங்களாகும்.
- எதிரெதிர் முகங்கள் சமமானவை.
- எதிரெதிர் முகங்கள் இணையானவை.
- அனைத்து கோணங்களும் 90° ஆகும்.
| பண்பு | எண்ணிக்கை |
|---|---|
| முகங்கள் | 6 |
| விளிம்புகள் | 12 |
| உச்சிகள்/ முனைகள் | 8 |
அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்கள்:
- செங்கல்
- புத்தகம்
- தீப்பெட்டி
- குளிர்சாதனப் பெட்டி
- செவ்வகப் பெட்டிகள்
கனவுருவின் (செவ்வகக் கனசதுரத்தின்) கனவளவு:
நீளம் = l, அகலம் = w, உயரம் = h எனில்,
கனவளவு = l × w × h
முக்கிய குறிப்பு: கனசதுரம் என்பது செவ்வகக் கனசதுரத்தின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும். இதில் நீளம், அகலம், உயரம் ஆகிய மூன்றும் சமமாக இருக்கும்.
5. நான்முகி (Tetrahedron)
நான்முகி என்றால் என்ன?
நான்கு முக்கோண முகங்களைக் கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம் நான்முகி எனப்படும்.
சமநான்முகியில் (Regular Tetrahedron) நான்கு முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களாக இருக்கும். அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் சம நீளமானவை.
நான்முகியின் பண்புகள்:
- முகங்களின் எண்ணிக்கை – 4
- விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை – 6
- முனைகளின் எண்ணிக்கை – 4
- சமநான்முகியின் அனைத்து முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்கள்.
- ஒவ்வொரு முனையிலும் மூன்று விளிம்புகள் சந்திக்கின்றன.
| பண்பு | எண்ணிக்கை |
|---|---|
| முகங்கள் | 4 |
| விளிம்புகள் | 6 |
| உச்சிகள்/ முனைகள் | 4 |
உதாரணங்கள்:
- நான்முகி வடிவ அலங்காரப் பொருட்கள்
- சில மூலக்கூறு அமைப்புகள்
- முக்கோண முகங்களைக் கொண்ட மாதிரிகள்
முக்கிய குறிப்பு: நான்முகி என்பது முக்கோணப் பிரமிடின் ஒரு வகையாகும். சமநான்முகியில் நான்கு முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களாக இருக்கும்.
6. சதுரக் கூம்பகம் (சதுரப் பிரமிடு - Square Pyramid)
சதுரக் கூம்பகம் (சதுரப் பிரமிடு) என்றால் என்ன?
ஒரு சதுர அடிப்பகுதியையும் நான்கு முக்கோணப் பக்க முகங்களையும் கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம் சதுரக் கூம்பகம் (சதுரப் பிரமிடு) எனப்படும்.
நான்கு முக்கோணப் பக்க முகங்களும் மேலே உள்ள ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும். இந்தப் புள்ளி உச்சி (Apex) எனப்படும்.
சதுரக் கூம்பகத்தின் (சதுரப் பிரமிடின்) பண்புகள்:
- முகங்களின் எண்ணிக்கை – 5
- விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை – 8
- முனைகளின் எண்ணிக்கை – 5
- ஒரு முகம் சதுரமாகும்.
- நான்கு முகங்கள் முக்கோணங்களாகும்.
- நான்கு விளிம்புகள் அடிப்பகுதியில் உள்ளன.
- நான்கு சாய்வான விளிம்புகள் உச்சியுடன் இணைகின்றன.
| பண்பு | எண்ணிக்கை |
|---|---|
| முகங்கள் | 5 |
| விளிம்புகள் | 8 |
| உச்சிகள்/ முனைகள் | 5 |
அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்கள்:
- எகிப்தியப் பிரமிடுகள்
- பிரமிடு வடிவ அலங்காரப் பொருட்கள்
- சதுரப் பிரமிடு வடிவக் கூரைகள்
முக்கிய சொற்கள்:
- அடிப்பகுதி (Base) – கீழே அமைந்துள்ள சதுர முகம்.
- உச்சி (Apex) – பிரமிடின் மேல் முனைப்புள்ளி.
- சாய்வு விளிம்புகள் (Sloping Edges) – அடிப்பகுதியின் முனைகளை உச்சியுடன் இணைக்கும் விளிம்புகள்.
7. கோளம் (Sphere)
கோளம் என்றால் என்ன?
முழுமையாக உருண்டையான முப்பரிமாண வடிவம் கோளம் எனப்படும்.
கோளத்தின் மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதன் மையத்திலிருந்து ஒரே தூரத்தில் காணப்படும்.
மையத்திலிருந்து மேற்பரப்பில் உள்ள ஒரு புள்ளிவரை உள்ள தூரம் ஆரம் (Radius) எனப்படும்.
கோளத்திற்கு தட்டையான முகங்கள், நேரான விளிம்புகள் மற்றும் முனைகள் கிடையாது.
கோளத்தின் பண்புகள்:
- வளைந்த மேற்பரப்புகளின் எண்ணிக்கை – 1
- விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை – 0
- முனைகளின் எண்ணிக்கை – 0
- ஒரே தொடர்ச்சியான வளைந்த மேற்பரப்பைக் கொண்டது.
- மையம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவற்றைக் கொண்டது.
| பண்பு | எண்ணிக்கை |
|---|---|
| வளைந்த மேற்பரப்பு | 1 |
| விளிம்புகள் | 0 |
| உச்சிகள்/ முனைகள் | 0 |
அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்கள்:
- கால்பந்து
- கூடைப்பந்து
- கோலிக்குண்டுகள்
- உலக உருண்டை (Globe)
- உருண்டையான அலங்காரப் பந்துகள்
கோளத்தின் கணிதச் சூத்திரங்கள்:
- கனவளவு = (4/3) × π × r³
- மேற்பரப்புப் பரப்பளவு = 4 × π × r²
இங்கு r என்பது ஆரம் ஆகும். π இன் தோராயமான பெறுமதி 3.14159 ஆகும்.
8. உருளை (Cylinder)
உருளை என்றால் என்ன?
இரண்டு சமமான, இணையான வட்டத் தட்டையான முகங்களையும் ஒரு வளைந்த மேற்பரப்பையும் கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம் உருளை எனப்படும்.
இதன் மேல் மற்றும் கீழ்ப்பகுதிகளில் இரண்டு வட்ட முகங்கள் அமைந்துள்ளன.
உருளையின் பண்புகள்:
- தட்டையான முகங்களின் எண்ணிக்கை – 2
- வளைந்த மேற்பரப்புகளின் எண்ணிக்கை – 1
- விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை – 2
- முனைகளின் எண்ணிக்கை – 0
- இரண்டு வட்ட முகங்களும் சமமானவை.
- இரண்டு வட்ட முகங்களும் இணையானவை.
- வளைந்த மேற்பரப்பும் வட்ட முகங்களும் சந்திக்கும் இடங்களில் இரண்டு வட்ட விளிம்புகள் உள்ளன.
| பண்பு | எண்ணிக்கை |
|---|---|
| தட்டையான முகங்கள் | 2 |
| வளைந்த மேற்பரப்பு | 1 |
| விளிம்புகள் | 2 |
| உச்சிகள்/ முனைகள் | 0 |
அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்கள்:
- தகரப்பேணிகள்
- நீர்க்குழாய்கள்
- உருளை வடிவக் குடுவைகள்
- சில நீர்ப் போத்தல்கள்
- உருளை வடிவக் கொள்கலன்கள்
உருளையின் கணிதச் சூத்திரங்கள்:
- கனவளவு = π × r² × h
- மொத்த மேற்பரப்புப் பரப்பளவு = 2πr(r + h)
இங்கு r என்பது வட்ட அடிப்பகுதியின் ஆரம் மற்றும் h என்பது உருளையின் உயரம் ஆகும்.
9. அரியம் (Prism) – முக்கோண முப்பட்டகம்
அரியம் என்றால் என்ன?
இரண்டு சமமான மற்றும் இணையான பல்கோண அடிப்பகுதிகளைக் கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம் அரியம் எனப்படும்.
இதன் பக்க முகங்கள் இணைகரங்களாக இருக்கும். செங்குத்து முப்பட்டகத்தில் இவை செவ்வகங்களாக அமையும்.
அடிப்பகுதியின் வடிவத்தைப் பொறுத்து அரியங்கள் பெயரிடப்படுகின்றன.
அரியங்களின் வகைகள்:
- முக்கோண அரியம் (Triangular Prism)
- சதுர அரியம் (Square Prism)
- ஐங்கோண அரியம் (Pentagonal Prism)
- அறுகோண அரியம் (Hexagonal Prism)
முக்கோண அரியம் (Triangular Prism)
இரண்டு சமமான, இணையான முக்கோண அடிப்பகுதிகளையும் மூன்று செவ்வகப் பக்க முகங்களையும் கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம் முக்கோண முப்பட்டகம் எனப்படும்.
முக்கோண முப்பட்டகத்தின் பண்புகள்:
- முகங்களின் எண்ணிக்கை – 5
- விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை – 9
- முனைகளின் எண்ணிக்கை – 6
- இரண்டு முகங்கள் முக்கோணங்கள்.
- மூன்று பக்க முகங்கள் செவ்வகங்கள் (செங்குத்து முப்பட்டகத்தில்).
- ஒவ்வொரு முக்கோண அடிப்பகுதியிலும் மூன்று விளிம்புகள் உள்ளன.
- இரண்டு அடிப்பகுதிகளையும் இணைக்கும் மூன்று விளிம்புகள் உள்ளன.
| பண்பு | எண்ணிக்கை |
|---|---|
| முகங்கள் | 5 |
| விளிம்புகள் | 9 |
| உச்சிகள்/ முனைகள் | 6 |
அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்கள்:
- முக்கோண வடிவ சாக்லேட் பொதிகள்
- முக்கோணக் கூரை அமைப்புகள்
- முக்கோண அரிய அலங்காரப் பொருட்கள்
- சில ஒளியியல் அரியங்கள்
முக்கிய குறிப்பு: முக்கோண அரியமும் முக்கோணப் பிரமிடும் ஒன்றல்ல. அரியத்தில் இரண்டு சமமான முக்கோண அடிப்பகுதிகள் உள்ளன. ஆனால் முக்கோணப் பிரமிடில் ஒரு முக்கோண அடிப்பகுதியும் ஒரு உச்சியும் காணப்படும்.
10. ஏழு திண்ம வடிவங்களின் ஒப்பீட்டு அட்டவணை
இதுவரை கற்றுக்கொண்ட ஏழு திண்ம வடிவங்களின் பண்புகளை ஒரே அட்டவணையில் பார்ப்போம். பரீட்சைக்குத் தயாராகும் மாணவர்களுக்கு இந்த அட்டவணை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
| திண்ம வடிவம் | முகங்கள் / மேற்பரப்புகள் | விளிம்புகள் | முனைகள் |
|---|---|---|---|
| கனசதுரம்/ சதுரமுகி | 6 | 12 | 8 |
| கனவுரு | 6 | 12 | 8 |
| நான்முகி | 4 | 6 | 4 |
| சதுரப் பிரமிடு | 5 | 8 | 5 |
| கோளம் | 1 வளைந்த | 0 | 0 |
| உருளை | 2 தட்டையான + 1 வளைந்த | 2 | 0 |
| முக்கோண அரியம் | 5 | 9 | 6 |
குறிப்பு: கோளம் மற்றும் உருளை ஆகியவற்றில் வளைந்த மேற்பரப்புகள் உள்ளன. சில பாடநூல்களில் முகம் என்ற சொல் தட்டையான மேற்பரப்புகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படும். எனவே பரீட்சையில் உங்கள் பாடநூலின் வரையறையைப் பின்பற்றுங்கள்.
11. ஒத்த திண்ம வடிவங்களுக்கிடையிலான வேறுபாடுகள்
11.1 கனசதுரம் (சதுரமுகி) மற்றும் கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம்)
| சதுரமுகி (கனசதுரம்) | கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம்) |
|---|---|
| ஆறு முகங்களும் சமமான சதுரங்கள். | முகங்கள் செவ்வகங்களாகும். |
| அனைத்து 12 விளிம்புகளும் சமமானவை. | விளிம்புகளின் நீளங்கள் வேறுபடலாம். |
| நீளம், அகலம், உயரம் சமமானவை. | நீளம், அகலம், உயரம் வேறுபடலாம். |
| 6 முகங்கள், 12 விளிம்புகள், 8 முனைகள். | 6 முகங்கள், 12 விளிம்புகள், 8 முனைகள். |
11.2 நான்முகி மற்றும் முக்கோண அரியம்
| நான்முகி | முக்கோண அரியம் |
|---|---|
| 4 முக்கோண முகங்கள். | 2 முக்கோண மற்றும் 3 செவ்வக முகங்கள். |
| 6 விளிம்புகள். | 9 விளிம்புகள். |
| 4 முனைகள். | 6 முனைகள். |
| ஒரு முக்கோண அடிப்பகுதியும் ஒரு உச்சியும். | இரண்டு சமமான இணையான முக்கோண அடிப்பகுதிகள். |
11.3 கோளம் மற்றும் உருளை
| கோளம் | உருளை |
|---|---|
| ஒரு தொடர்ச்சியான வளைந்த மேற்பரப்பு. | இரண்டு தட்டையான வட்ட முகங்கள் மற்றும் ஒரு வளைந்த மேற்பரப்பு. |
| விளிம்புகள் இல்லை. | இரண்டு வட்ட விளிம்புகள். |
| முனைகள் இல்லை. | முனைகள் இல்லை. |
| உதாரணம் – பந்து. | உதாரணம் – தகரப்பேணி. |
12. யூலர் விதி (Euler's Formula)
குவிந்த பல்முகத் திண்ம வடிவங்களின் முகங்கள், விளிம்புகள் மற்றும் முனைகளுக்கிடையில் ஒரு முக்கியமான கணிதத் தொடர்பு காணப்படுகிறது. இது யூலர் விதி (Euler's Formula) எனப்படும்.
யூலர் விதி
F + V = E + 2
இங்கு:
- F = முகங்களின் எண்ணிக்கை (Faces)
- V = முனைகளின் எண்ணிக்கை (Vertices)
- E = விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை (Edges)
உதாரணம் – கனவுருவுக்கு யூலர் விதியைப் பயன்படுத்துதல்
கனவுரு:
- முகங்கள் (F) = 6
- முனைகள் (V) = 8
- விளிம்புகள் (E) = 12
யூலர் விதிப்படி:
F + V = E + 2
6 + 8 = 12 + 2
14 = 14
எனவே, கனவுருவுக்கு யூலர் விதி சரியாகப் பொருந்துகின்றது.
இந்த விதி கனசதுரம், செவ்வகக் கனசதுரம், பிரமிடு, முப்பட்டகம் போன்ற குவிந்த பல்முகத் திண்ம வடிவங்களுக்குப் பொருந்தும். கோளம் மற்றும் உருளை போன்ற வளைந்த திண்ம வடிவங்களுக்கு இதனை நேரடியாகப் பயன்படுத்த முடியாது.
13. விரைவான மீள்பார்வைக் குறிப்புகள்
பரீட்சைக்குத் தயாராகும் மாணவர்கள் கீழே உள்ள குறிப்புகளை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளலாம்.
- (கனசதுரம்) சதுரமுகி: 6 முகங்கள், 12 விளிம்புகள், 8 முனைகள்.
- கனவுரு: 6 முகங்கள், 12 விளிம்புகள், 8 முனைகள்.
- நான்முகி: 4 முக்கோண முகங்கள், 6 விளிம்புகள், 4 முனைகள்.
- சதுரப் பிரமிடு: 5 முகங்கள், 8 விளிம்புகள், 5 முனைகள்.
- கோளம்: 1 வளைந்த மேற்பரப்பு, 0 விளிம்புகள், 0 முனைகள்.
- உருளை: 2 தட்டையான முகங்கள், 1 வளைந்த மேற்பரப்பு, 2 விளிம்புகள், 0 முனைகள்.
- முக்கோண அரியம்: 5 முகங்கள், 9 விளிம்புகள், 6 முனைகள்.
முகம் = மேற்பரப்பு
விளிம்பு = இரண்டு தட்டையான முகங்கள் சந்திக்கும் எல்லைக்கோடு
உச்சி (முனை) = மூலைப்புள்ளி
14. அறிவைச் சோதிப்போம் – வினாடி வினா
இப்போது நீங்கள் கற்றுக்கொண்டவற்றைச் சோதித்துப் பார்ப்போம். ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் சரியான விடையைத் தெரிவு செய்யுங்கள்.
வினா 1
ஒரு சதுரமுகிக்கு (கனசதுரத்திற்கு) எத்தனை முகங்கள் உள்ளன?
- A. 4
- B. 6
- C. 8
- D. 12
சரியான விடை: B – 6
வினா 2
விளிம்புகளும் முனைகளும் இல்லாத திண்ம வடிவம் எது?
- A. கனசதுரம்
- B. செவ்வகக் கனசதுரம்
- C. கோளம்
- D. சதுரப் பிரமிடு
சரியான விடை: C – கோளம்
வினா 3
முக்கோண அரியத்திற்கு எத்தனை விளிம்புகள் உள்ளன?
- A. 6
- B. 8
- C. 9
- D. 12
சரியான விடை: C – 9
வினா 4
சதுர கூம்பகத்திக்கு (சதுரப் பிரமிடிற்கு) எத்தனை முனைகள் உள்ளன?
- A. 4
- B. 5
- C. 6
- D. 8
சரியான விடை: B – 5
வினா 5
நான்கு முக்கோண முகங்களைக் கொண்ட திண்ம வடிவம் எது?
- A. சதுரமுகி (கனசதுரம்)
- B. நான்முகி
- C. உருளை
- D. கனவுரு (செவ்வகக் கனசதுரம்)
சரியான விடை: B – நான்முகி
15. முடிவுரை
இந்தப் பாடத்தின் மூலம் திண்ம வடிவவியல் (Solid Geometry) பற்றிய அடிப்படை அறிவைப் பெற்றிருப்பீர்கள் என நம்புகின்றோம்.
நாம் ஏழு முக்கியமான முப்பரிமாண வடிவங்களைக் கற்றுக்கொண்டோம்:
- கனசதுரம்/ சதுரமுகி (Cube)
- செவ்வகக் கனசதுரம்/ கனவுரு (Cuboid)
- நான்முகி (Tetrahedron)
- சதுரப் பிரமிடு (Square Pyramid)
- கோளம் (Sphere)
- உருளை (Cylinder)
- முக்கோண அரியம் (Triangular Prism)
அவற்றின் முகங்கள், விளிம்புகள், முனைகள், பண்புகள் மற்றும் அன்றாட வாழ்க்கை உதாரணங்களை அறிந்துகொண்டோம்.
திண்ம வடிவங்களை நன்கு புரிந்துகொள்ள, உங்களைச் சுற்றியுள்ள பொருட்களை அவதானித்து அவற்றின் முகங்கள், விளிம்புகள் மற்றும் முனைகளைக் கணக்கிட்டுப் பாருங்கள்.
கற்றுக்கொள்வோம்! புரிந்துகொள்வோம்! பயிற்சி செய்வோம்! வெற்றி பெறுவோம்!
16. அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள் (Frequently Asked Questions)
1. திண்ம வடிவவியல் என்றால் என்ன?
நீளம், அகலம், உயரம் ஆகிய மூன்று பரிமாணங்களைக் கொண்ட பொருட்களின் வடிவங்கள் மற்றும் பண்புகளைப் பற்றி ஆராயும் கணிதப் பிரிவு திண்ம வடிவவியல் எனப்படும்.
2. முகம், விளிம்பு, முனை ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான வேறுபாடு என்ன?
முகம் என்பது மேற்பரப்பு. விளிம்பு என்பது இரண்டு தட்டையான முகங்கள் சந்திக்கும் எல்லைக்கோடு. முனை என்பது விளிம்புகள் சந்திக்கும் மூலைப்புள்ளி.
3. சதுரமுகிக்கு எத்தனை முகங்கள், விளிம்புகள் மற்றும் முனைகள் உள்ளன?
சதுரமுகிக்கு 6 முகங்கள், 12 விளிம்புகள் மற்றும் 8 முனைகள் உள்ளன.
4. நான்முகிக்கு எத்தனை முகங்கள் உள்ளன?
நான்முகிக்கு 4 முக்கோண முகங்கள், 6 விளிம்புகள் மற்றும் 4 முனைகள் உள்ளன.
5. கோளத்திற்கு விளிம்புகளும் முனைகளும் உள்ளனவா?
இல்லை. கோளத்திற்கு ஒரு தொடர்ச்சியான வளைந்த மேற்பரப்பு மட்டுமே உள்ளது. அதற்கு விளிம்புகளும் முனைகளும் இல்லை.
6. உருளைக்கு எத்தனை விளிம்புகள் உள்ளன?
உருளைக்கு இரண்டு வட்ட விளிம்புகள் உள்ளன. இவை வளைந்த மேற்பரப்பும் இரண்டு வட்ட முகங்களும் சந்திக்கும் இடங்களில் காணப்படுகின்றன.
7. பிரமிடுக்கும் அரியத்திற்கும் என்ன வேறுபாடு?
பிரமிடிற்கு ஒரு பல்கோண அடிப்பகுதியும் உச்சியில் சந்திக்கும் முக்கோணப் பக்க முகங்களும் உள்ளன. அரியத்திற்கு இரண்டு சமமான இணையான பல்கோண அடிப்பகுதிகள் உள்ளன.
8. யூலர் விதி என்றால் என்ன?
குவிந்த பல்முகத் திண்ம வடிவங்களுக்கு F + V = E + 2 என்ற தொடர்பு பொருந்தும். இதில் F என்பது முகங்கள், V என்பது முனைகள், E என்பது விளிம்புகள் ஆகும்.
மேலும் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்!
திண்ம வடிவங்கள் தொடர்பான இந்தப் பாடத்தை மேலும் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள, ஒவ்வொரு வடிவத்தையும் 3D படங்கள் மற்றும் சுழலும் அனிமேஷன்கள் மூலம் பார்வையிடுங்கள்.
வீடியோப் பாடத்தைப் பாருங்கள். முக்கிய குறிப்புகளை மீள்பார்வை செய்யுங்கள். வினாடி வினாவிற்குப் பதிலளித்து உங்கள் அறிவைச் சோதித்துப் பாருங்கள்.
Solid Geometry – Learn, Understand, Practice and Succeed!
